그리디 알고리즘: 매 상황에서 방문하지 않은 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복
단계를 거치며 한 번 처리된 노드의 최단 거리는 고정되어 더 이상 바뀌지 않음
한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해
다익스트라 알고리즘을 수행한 뒤에 테이블에 각 노드까지의 최단 거리 정보가 저장됨
완벽한 형태의 최단 경로를 구하려면 소스코드에 추가적인 기능을 더 넣어야 함
간단한 구현 방법
단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 매 단계마다 1차원 테이블의 모든 원소를 확인(순차 탐색)
총 O(V)번에 걸쳐서 최단 거리가 짧은 노드를 매번 선형 탐색 → 전체 시간 복잡도 : O(V^2)
전체 노드의 개수가 5천개 이하라면 문제 해결 가능, BUT 노드의 개수가 만개를 넘어가면 1억번 이상의 연산을 해야함
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
a, b, c = map(int, input().split())
# a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
graph[a].append((b, c))
# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
min_value = INF
index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
for i in range(n + 1):
if distance[i] < min_value and not visited[i]:
min_value = distance[i]
index = i
return index
def dijkstra(start):
# 시작 노드에 대해서 초기화
distance[start] = 0
visited[start] = True
for j in graph[start]:
distance[j[0]] = j[1]
# 시작 노드를 제외한 전체 n - 1 개의 노드에 대해 반복
for i in range(n - 1):
# 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
now = get_smallest_node()
visited[now] = True
# 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
for j in graph[now]:
cost = distance[now] + j[1]
# 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[j[0]]:
distance[j[0]] = cost
# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)
# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if distance[i] == INF:
print("INFINITY")
# 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else:
print(distance[i])
개선된 다익스트라 알고리즘
우선순위 큐 Priority Queue
우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 자료구조
EX) 여러 개의 물건 데이터를 자료구조에 넣었더가 가치가 높은 물건부터 꺼내서 확인해야 하는 경우
자료구조
추출되는 데이터
스택(Stack)
가장 나중에 삽입된 데이터
큐(Queue)
가장 먼저 삽입된 데이터
우선순위 큐(Priority Queue)
가장 우선순위가 높은 데이터
힙 Heap
우선순위 큐를 구현하기 위해 사용하는 자료구조 중 하나
최소 힙(Min Heap), 최대 힙(Max Heap)
다양한 알고리즘에서 사용됨
우선순위 큐 구현 방식
삽입 시간
삭제 시간
리스트
O(1)
O(N)
힙
O(logN)
O(logN)
힙 사용 예제
## 최소 힙(라이브러리 기준)
import heapq
# 오름차순 힙 정렬(Heap Sort)
def heapsort(iterable):
h = []
result = []
# 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
for value in iterable:
heapq.heappush(h, value)
# 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
for i in range(len(h)):
result.append(heapq.heappop(h))
return result
result = heapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result)
# [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 9]
## 최대 힙
import heapq
# 내림차순 힙 정렬(Heap Sort)
def heapsort(iterable):
h = []
result = []
# 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
for value in iterable:
heapq.heappush(h, -value) # 부호 바꾸어서 넣기
# 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
for i in range(len(h)):
result.append(-heapq.heappop(h)) # 부호 바꾸어서 꺼내기
return result
result = heapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result)
# [9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0]
개선된 구현 방법
단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 힙 자료구조 이용
결과적으로 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인하는 총 횟수는 최대 간선의 개수(E)만큼 연산이 수행될 수 있음
직관적으로 전체 과정은 E개의 원소를 우선순위 큐에 넣었다가 모두 빼내는 연산과 매우 유사함
시간 복잡도를 O(ElogE)로 판단 가능
중복 간선을 포함하지 않는 경우에 이를 O(ElogV)로 정리 가능
O(ElogE) → O(ElogV^2) → O(2ElogV) → O(ElogV)
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
a, b, c = map(int, input().split())
# a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
graph[a].append((b, c))
def dijkstra(start)：
q = []
# 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
heapq.heappush(q, (0, start))
distance[start] = 0
while q: # 큐가 비어있지 않다면
# 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
dist, now = heapq.heappop(q)
# 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
if distance[now] < dist:
continue
# 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
for i in graph[now]:
cost = dist + i[1]
# 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[i[0]]:
distance[i[0]] = cost
heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)
# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in ranged(1, n + 1):
# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if distance[i] == INF:
print("INFINITY")
# 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else:
print(distance[i])
플로이드 워셜 Floyd-Warshall 알고리즘
플로이드 워셜 알고리즘 개요
모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산
단계별로 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행함
다만 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중에 최단 거리를 갖는 노드를 찾는 과정이 필요하지 않음
2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장
다이나믹 프로그래밍 유형 → 점화식, 3중 반복문을 이용해 2차원 테이블 갱신
다익스트라 알고리즘보다 구현 난이도는 쉬우나 시간 복잡도가 O(N^3)$
플로이드 워셜 알고리즘
각 단계마다 특정한 노드 k를 거쳐 가는 경우를 확인
a에서 b로 가는 최단 거리보다 a에서 k를 거쳐 b로 가는 거리가 더 짧은지 검사함
점화식
알고리즘 구현
노드의 개수가 N개일 때 알고리즘상으로 N번의 단계를 수행
각 단계마다 O(N^2)의 연산을 통해 현재 노드를 거쳐 가는 모든 경로를 고려함
따라서 플로이드 워셜 알고리즘의 총 시간 복잡도 O(N^3)
최대 500개의 노드 내에서만 사용 가능
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
if a == b:
graph[a][b] = 0
# 각 간선에 대한 정보를 입력받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
# A에서 으로 가는 비용은 C라고 설정
a, b, c = map(int, input().split())
graph[a][b] = c
# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if graph[a][b] == INF:
print("INFINITY", end=" ")
# 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else:
print(graph[a][b], end=" ")
print()
