이코테 CHAPTER 10 그래프 이론 정리

그래프 이론

그래프 이론 복습

(추후에 추가 예정)

 

 

1. 서로소 집합

• 서로소 집합(Disjoint Sets) : 공통 원소가 없는 두 집합
• 서로소 집합 자료구조
  • 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조
  • 두 종류의 연산을 지원
    • 합집합(Union): 두 개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산
    • 찾기(Find): 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산
  • 합치기 찾기(Union Find) 자료구조라고도 불림
• 여러 개의 합치기 연산이 주어졌을 때 서로소 집합 자료구조의 동작 과정은 다음과 같음
  1. 합집합 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인
     1. A와 B의 루트 노드 A’, B’ 를 각각 찾는다.
     2. A’를 B’의 부모 노드로 설정한다.
        • 일반적으로 더 작은 번호를 부모 노드로 설정
  2. 모든 합집합 연산을 처리할 때까지 1번의 과정을 반복

 

• 연결성
  • 서로소 집합 자료구조에서는 연결성을 통해 손쉽게 집합의 형태를 확인 가능
  • 기본적인 형태의 서로소 집합 자료구조에서는 루트 노드에 즉시 접근할 수 없음
    • 루트 노드를 찾기 위해 부모 테이블을 계속해서 확인하며 거슬러 올라가야 함

 

• 기본적인 구현 방법

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
	# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
	if parent[x] != x:
		return find_parent(parent, parent[x])
	return x

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
	a = find_parent(parent, a)
	b = find_parent(parent, b)
	if a < b:
		parent[b] = a
	else:
		parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
	parent[i] = i

# union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
	a, b = map(int, input().split())
	union_parent(parent, a, b)

# 각 원소가 속한 집합 출력
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
	print(find_parent(parent, i), end=' ')

print()

# 부모 테이블 내용 출력
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
	print(parent[i], end=' ')

• 기본적인 구현 방법의 문제점
  • 합집합 연산이 편향되게 이루어지는 경우 찾기 함수가 비효율적으로 동작
  • 최악의 경우에는 찾기 함수가 모든 노드를 다 확인하게 되어 시간 복잡도가 O(V)

 

• 경로 압축
  • 찾기 함수를 최적화하기 위한 방법으로 경로 압축(Path Compression)을 이용
    • 찾기 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블 값을 바로 갱신

  # 특정 원소가 속한 집합을 찾기
  def find_parent(parent, x):
  	# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
  	if parent[x] != x:
  		parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
  	return parent[x]
  

  • 경로압축 기법 → 각 노드에 대하여 찾기 함수를 호출한 이후에 해당 노드의 루트 노드가 바로 부모 노드가 된다 → 시간 복잡도 개선 가능

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• 서로소 집합을 활용한 사이클(Cycle) 판별
  • 무방향 그래프 내에서의 사이클 판별시 사용
  • 참고로 방향 그래프에서의 사이클 여부는 DFS를 이용하여 판별 가능
• 사이클 판별 알고리즘
  1. 각 간선을 하나씩 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인
     1. 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 합집합 연산을 수행
     2. 루트 노드가 서로 같다면 사이클 발생
  2. 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 1번 과정을 반복

  # 특정 원소가 속한 집합을 찾기
  def find_parent(parent, x):
  	# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
  	if parent[x] != x:
  		parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
  	return parent[x]
  
  # 두 원소가 속한 집합을 합치기
  def union_parent(parent, a, b):
  	a = find_parent(parent, a)
  	b = find_parent(parent, b)
  	if a < b:
  		parent[b] = a
  	else:
  		parent[a] = b
  
  # 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
  v, e = map(int, input().split())
  parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화
  
  # 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
  for i in range(1, v + 1):
  	parent[i] = i
  
  cycle = False # 사이클 발생 여부
  
  for i in range(e):
  	a, b = map(int, input().split())
  	# 사이클이 발생한 경우 종료
  	if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
  		cycle = True
  		break
  	# 사이클이 발생하지 않았다면 합집합(union) 수행
  	else:
  		union_parent(parent, a, b)
  
  if cycle:
  	print（"사이클이 발생했습니다."）
  else:
  	print（"사이클이 발생하지 않았습니다."）
  

 

2. 신장 트리 및 크루스칼 알고리즘

• 신장 트리
  • 그래프에서 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프를 의미
  • 모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클이 존재하지 않는다는 조건 = 트리의 조건
• 최소 신장 트리
  • 최소한의 비용으로 구성되는 신장 트리 찾기
  • 예: N개의 도시가 존재하는 상황에서 두 도시 사이에 도로를 놓아 전체 도시가 서로 연결될 수 있게 도로를 설치하는 경우
    • 두 도시 A, B를 선택했을 때 A에서 B로 이동하는 경로가 반드시 존재하도록 도로를 설치

 

크루스칼 알고리즘

• 대표적인 최소 신장 트리 알고리즘
• 그리디
• 구체적인 동작 과정
  1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬
  2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인
     1. 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함
     2. 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않음
  3. 모든 간선에 대하여 2번의 과정을 반복
• 최소 신장 트리에 포함되어 있는 간선의 비용만 모두 더하면, 그 값이 최종 비용

 

• 알고리즘 구현

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
	# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
	if parent[x] != x:
		parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
	return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
	a = find_parent(parent, a)
	b = find_parent(parent, b)
	if a < b:
		parent[b] = a
	else:
		parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화

# 모든 간선을 담을 리스트와 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
	parent[i] = i

# 모든 간선에 대한 정보를 입력받기
for _ in range(e):
	a, b, cost = map(int, input().split())
	# 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
	edges.append((cost, a, b))

# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()

# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
	cost, a, b = edge
	# 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
	if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
		union_parent(parent, a, b)
		result += cost

print(result)

 

• 성능 분석
  • 간선의 개수가 E개일 때, O(ElogE)의 시간 복잡도를 가짐
  • 가장 많은 시간을 요구하는 곳은 간선 정렬을 수행하는 부분
    • 표준 라이브러리를 이용해 E개의 데이터를 정렬하기 위한 시간 복잡도는 O(ElogE)

 

3. 위상 정렬

• 사이클이 없는 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것을 의미
• 예: 선수과목을 고려한 학습 순서 설정
  • 자료구조 → 알고리즘 → 고급 알고리즘, 자료구조 → 고급 알고리즘
  • 위 세 과목을 모두 듣기 위한 적절한 학습 순서 : 자료구조 → 알고리즘 → 고급 알고리즘

 

• 진입차수(Indegree): 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수
• 진출차수(Outdegree): 특정한 노드에서 나가는 간선의 개수

 

• 위상 정렬 알고리즘
  • 큐를 이용하는 위상 정렬 알고리즘의 동작 과정
    1. 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣는다.
    2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.
       1. 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 나가는 간선을 그래프에서 제거한다.
       2. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.
    • 결과적으로 각 노드가 큐에 들어온 순서가 위상 정렬을 수행한 결과와 같다.
  • 위상 정렬을 수행할 그래프 → 사이클이 없는 방향 그래프(DAG)여야 함
    • 아니라면 진입차수가 0인 노드가 없으므로 알고리즘을 시작할 수 없음
• 위상 정렬 특징
  • DAG(Direct Acyclic Graph; 순환하지 않는 방향 그래프)에 대해서만 수행 가능
  • 여러 가지 답이 존재 가능
    • 한 단계에서 큐에 새롭게 들어가는 원소가 2개 이상인 경우가 있다면 여러 가지 답이 존재
  • 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단
    • 사이클에 포함된 원소 중에서 어떠한 원소도 큐에 들어가지 못함
  • 스택을 활용한 DFS를 이용해 위상 정렬 수행도 가능

 

• 위상 정렬 알고리즘 구현

from collections import deque

# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트(그래프) 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(e):
	a, b = map(int, input().split())
	graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
	# 진입차수를 1 증가
	indegree[b] += 1

# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
	result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
	q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용

	# 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
	for i in range(1, v + 1):
		if indegree[i] == 0:
			q.append(i)

	# 큐가 빌 때까지 반복
	while q:
		# 큐에서 원소 꺼내기
		now = q.popleft()
		result.append(now)
		# 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
		for i in graph[now]:
			indegree[i] -= 1
			# 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
			if indegree[i] == 0:
				q.append(i)

	# 위상 정렬을 수행한 결과 출력
	for i in result:
		print(i, end=' ')

topology_sort()

 

• 성능 분석
  • 위상 정렬을 위해 차례대로 모든 노드를 확인하며 각 노드에서 나가는 간선을 차례대로 제거
  • 시간 복잡도 O(V+E)

 

 

Reference

이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with 파이썬 - 나동빈 저